附录C 简支梁、悬臂梁及框架梁的弹性屈曲临界弯矩

附录C 简支梁、悬臂梁及框架梁的弹性屈曲临界弯矩#

C.1 简支梁的弹性屈曲临界弯矩#

1. 在最大刚度主平面内受弯的单轴对称截面简支梁的临界弯矩可按下式（图C.1.1）计算：#

\[ M_{cr} = \frac{\pi^2 E I_w}{(kL)^2} + \frac{G J}{kL} + \frac{\pi^2 E \beta}{(kL)^2} \cdot \frac{C_w}{C_y} \quad \text{(C.1.1)} \]

图C.1.1 单轴对称工字形截面
图中形心是\(C\)，剪切中心是\(S\)，\(B\)是荷载作用点

式中：

\(\beta\) —— 截面不对称参数，根据本规范第C.1.2条计算；
\(C_y\)、\(GJ\)、\(C_w\) —— 分别为截面的侧向抗弯刚度、自由扭转刚度和翘曲刚度；
\(C_1\)、\(C_2\)、\(C_3\) —— 系数，随荷载类型而异，其值见表C.1.1；
\(e\) —— 集中荷载\(Q\)或均布荷载\(q\)在截面上的作用点\(B\)的纵坐标和剪力中心\(S\)纵坐标的差值，\(e = y_B - y_S\)，图E.0.1中，\(e\)取负值；
\(L\) —— 侧向支承点之间的距离。

表C.1.1 不同荷载类型的\(C_1\)、\(C_2\)、\(C_3\)

跨中侧向支承点情况	荷载类型	\(C_1\)	\(C_2\)	\(C_3\)
跨中无侧向支承点	跨中集中荷载	1.35	0.55	0.40
	满跨均布荷载	1.13	0.47	0.53
	纯弯曲	1.00	0	1.00
跨中有一个侧向支承点	跨中集中荷载	1.75	0	1.00
	满跨均布荷载	1.39	0.14	0.86
跨中有2个侧向支承点	跨中集中荷载	1.84	0.89	0
	满跨均布荷载	1.45	0	1
跨中有3个侧向支承点	跨中集中荷载	1.90	0	1.00
	满跨均布荷载	1.47	1	0
侧向支承点间弯矩线性变化	不考虑段与段之间相互约束	\(C_1\)	0	1.0
侧向支承点间弯矩非线性变化	\(C_1\)	\(C_2\)

注：\(M_1\) 和 \(M_2\)为区段的端弯矩，使构件产生同向曲率（无反弯点）时取同号；使构件产生反向曲率（有反弯点）时取异号，且 \(M_1 \cdot M_2 < 0\)。

2. 截面不对称参数应按下列公式计算：#

\[ \beta = \frac{I_{yc} - I_{yt}}{I_y} \quad \text{(C.1.2-1)} \]

对于工字钢：

\[ \beta = \frac{I_{yc} - I_{yt}}{I_y} = \frac{h}{2} \cdot \frac{t_f}{t_w} \quad \text{(C.1.2-2)} \]

\[ I_{yc} = \frac{h^3 t_w}{12}, \quad I_{yt} = \frac{h^3 t_w}{12} \quad \text{(C.1.2-3)} \]

对于热轧槽形截面：

\[ \beta = 0 \quad \text{(C.1.2-4)} \]

式中：

\(y_s\) —— 剪力中心的纵坐标；
\(I_{yc}\)、\(I_{yt}\) —— 分别为受压翼缘和受拉翼缘对\(y\)轴的惯性矩。

3. 工字钢自由扭转常数\(J\)和翘曲惯性矩\(I_w\)应按下列公式计算，其他截面应符合表C.1.3的规定：#

\[ J = \frac{2 t_w h^3}{3} \quad \text{(C.1.3-1)} \]

\[ I_w = \frac{t_w h^3}{12} \quad \text{(C.1.3-2)} \]

表C.1.3 自由扭转常数\(J\)和翘曲惯性矩\(I_w\)

截面	自由扭转常数 \(J\)	翘曲惯性矩 \(I_w\)
T形截面	\(J = \frac{t_w h^3}{3}\)	\(I_w = \frac{t_w h^3}{12}\)
热轧工字钢	\(J = \frac{2 t_w h^3}{3}\)	\(I_w = \frac{t_w h^3}{12}\)
热轧槽钢	\(J = \frac{t_w h^3}{3}\)	\(I_w = \frac{t_w h^3}{12}\)

C.2 悬臂梁的弹性屈曲临界弯矩#

1. 在弯矩作用平面内悬臂，弯矩作用平面外有可靠侧向支承阻止悬臂端的侧移和扭转时，弹性临界弯矩可按本规范第C.1节的规定计算弹性临界弯矩。#

2. 弯矩作用平面内悬臂，在悬臂端的平面外无支承阻止其侧移位移和扭转时，应按下式计算弹性临界弯矩：#

\[ M_{cr} = \frac{\pi^2 E I_w}{(kL)^2} + \frac{G J}{kL} \quad \text{(C.2.2)} \]

式中：

\(L\) —— 悬臂梁的长度；
\(C_1\)、\(C_2\) —— 系数，按表C.2.2的规定计算。

表C.2.2 系数\(C_1\)、\(C_2\)

悬臂端条件	荷载类型	荷载作用点高度	\(C_1\)	\(C_2\)
侧移和扭转均自由	横向均布荷载	剪心之上	1.5	0.8
		剪心之下		0.6
	自由端集中荷载	剪心之上	2.0	1.0
		剪心之下		0.8
扭转受到约束侧移自由	横向均布荷载	剪心之上	1.8	0.9
		剪心之下		0.7
	自由端集中荷载		2.5	0
扭转和侧移都受到约束	横向均布荷载		2.0	1.0
	自由端集中荷载		2.5	0

C.3 框架梁的弹性屈曲临界弯矩#

1. 框架梁的弹性临界弯矩应按下式计算：#

当 \(M_1 \cdot M_2 \geq 0\) 时：

\[ M_{cr} = \frac{\pi^2 E I_w}{(kL)^2} + \frac{G J}{kL} + \frac{\pi^2 E \beta}{(kL)^2} \cdot \frac{C_w}{C_y} \quad \text{(C.3.1-1)} \]

当 \(M_1 \cdot M_2 < 0\) 时：

\[ M_{cr} = \frac{\pi^2 E I_w}{(kL)^2} + \frac{G J}{kL} \quad \text{(C.3.1-2)} \]

\[ M_{cr} = \frac{\pi^2 E \beta}{(kL)^2} \cdot \frac{C_w}{C_y} \quad \text{(C.3.1-3)} \]

式中：

\(C_m\) —— 采用 \(M_1\) 和 \(M_2\) 范围内弯矩计算的等效弯矩系数，采用本规范表C.1.1最后一行公式计算；
\(K_t\) —— 周围介质对钢梁提供的扭转约束；
\(L\) —— 框架梁的实际长度。